Computational And Mathematical Modeling Program

Inverse Probleme

Quelle: Mueller & Siltanen (2012). Linear and Nonlinear Inverse
Problems with Practical Applications. Philadelphia: siam.

Wie erkennt ein autonom fahrendes Fahrzeug ein Verkehrsschild? Wie kann man aus seismischen Messungen auf den Ursprung eines Erdbebens schließen? Wie erhält man von einem medizinischen Scanner eine dreidimensionale tomographische Rekonstruktion eines Körperteils?
    
Die Methoden zur Beantwortung all dieser Fragestellungen stammen aus dem Bereich der sogenannten Inversen Probleme und sind von zentraler Bedeutung für unsere Gesellschaft. Sie sind allgegenwärtig in Technik, Wissenschaft und auch im Alltag und beinhalten Mathematik - ohne dass dies Vielen bewusst ist. Der Prozess der mathematischen Modellierung findet beim Lösen inverser Probleme Anwendung. Hierbei werden komplexe Probleme so vereinfacht, dass mathematische Modelle entwickelt und anschließend akkurate Lösungen berechnet werden können. Nun stellt sich die Frage, ob es auch für Schüler/innen der gymnasialen Oberstufe möglich ist, aufbauend auf ihr mathematisches Schulwissen und unter Einsatz des Computers solche komplexen Probleme zu bearbeiten und eigenständig akkurate Lösungen zu finden.

Bei inversen Problemen versucht man, Informationen über ein unbekanntes Objekt zu erhalten, indem man ungenaue, indirekte Daten verwendet. Typischerweise werden diese Daten durch ein Phänomen der Physik erzeugt. Sorgen kleine Fehler in den Daten für riesige im Objekt spricht man von einem schlecht gestellten inversem Problem. Es müssen deshalb die drei Bedingungen von Hadamard überprüft werden:

  • Existenz: Es sollte mindestens eine Lösung existieren.
  • Eindeutigkeit: Es sollte höchstens eine Lösung existieren.

  • Stabilität: Die Lösung sollte stetig von den Daten abhängig sein.

Genau an dieser Stelle setzt dieses Forschungsprojekt an. Ziel ist es, diese Probleme didaktisch so zu reduzieren, dass sie auch für Oberstufenschüler/innen zugänglich und im Rahmen eines eintägigen Workshops lösbar sind. Die Schulmathematik soll in den dafür benötigten mathematischen Methoden Anwendung finden, um so eine direkte Einbindung in den (fächerübergreifenden) Schulunterricht zu ermöglichen. Zudem zeigt das Lösen dieser realen Problemstellungen authentische Anwendungen der Schulmathematik, die bislang noch oft in den aktuellen Schulbüchern fehlen.

Computertomographie

Die Rekonstruktion eines Bildes bei der Computertomographie stellt ein solches schlecht gestelltes Inverses Problem dar. Um zu überprüfen, ob Knochen oder Organe bei einem Unfall verletzt wurden oder, ob ein Patient einen Tumor hat, werden Computertomographen verwendet. Der Patient wird mit Röntgenstrahlen bestrahlt und die Ärzte erhalten ein Abbild des Querschnitts der untersuchten Körperstelle. Dabei stellen verschiedene Grauwerte unterschiedliche Materialien dar, die beim Durchstrahlen die Strahlen verschieden stark abschwächen durch Absorption.

Im zentrale Frage des Workshops ist: "Wie ist es möglich mithilfe der Röntgenstrahlen Abbildungen der inneren Struktur der durchstrahlten Körperteile zu erhalten?"